Resolvendo isso usando o integral de riemann?

Responda:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ou # aproximadamente 1.302054638 … #

Explicação:

A identidade número um mais importante para resolver qualquer tipo de problema com o produto infinito é convertê-lo em um problema de somas infinitas:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

ÊNFASE:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

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Mas, antes que possamos fazer isso, devemos primeiro lidar com o # frac {1} {n ^ 2} na equação e vamos chamar o produto infinito L:

# Fr = {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Agora podemos converter isso em uma soma infinita:

# L = lim_ {n para + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n para + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

aplicar propriedades de logaritmo:

# L = lim_ {n para + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

E usando propriedades limite:

# L = exp lim_ {n} para + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

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Vamos chamar a soma infinita S:

# S = lim_ {n para + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

E tenha em mente que

# L = exp (S) #

Agora vamos resolver sua questão convertendo-a de um SOMA RIEMANN para um INTEGRAL DEFINIDA:

Lembre-se que a definição de uma soma de Riemann é:

ÊNFASE:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Deixei

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Agora deixe # f (x) = ln (1 + x ^ 2) e a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Assim, b = 1, isto é, # f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Assim sendo,

# S = lim_ {n para + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

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Resolva para # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

use integração por partes:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Deixei # u = ln (1 + x ^ 2) e v = 1 #

Então, use a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para obter # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

e use a regra de energia para obter: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Use a regra de subtração:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Use a regra de potência para a primeira integral e a segunda integral é a função trigonométrica padrão # arctan (x) # (o inverso da função tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Portanto, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + c #

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Agora resolva para a integral definida:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

sabemos que o anti-derivativo é # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Portanto

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

note que o arctan (1) é 45 ° ou # frac { pi} {4} # (recorde o triângulo retângulo especial com comprimentos laterais 1,1, # sqrt {2} # e ângulos 45 °, 45 °, 90 °) e também # arctan (0) = 0 #

portanto #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

ou # aproximadamente 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Portanto, a solução é # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ou # aproximadamente 1.302054638 … #