Responda:
Explicação:
Um vetor que é ortogonal (perpendicular, norma) a um plano contendo dois vetores é também ortogonal aos vetores dados. Podemos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores, tomando seu produto cruzado. Podemos, então, encontrar um vetor unitário na mesma direção daquele vetor.
Dado
Para o
#(12*-7)-(14*3)=-84-42=-126#
Para o
#-(8*-7)-(2*14)=--56-28=84#
Para o
#(8*3)-(12*2)=24-24=0#
Nosso vetor normal é
Agora, para fazer disso um vetor unitário, dividimos o vetor por sua magnitude. A magnitude é dada por:
# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt ((- 126) ^ 2 + (84) ^ 2 + (0) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt (15878 + 7056 + 0) = sqrt (22932) = 42sqrt (13) #
O vetor unitário é então dado por:
# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) #
#vecu = (<-126,84,0>) / (42sqrt (13)) #
# vecu = 1 / (42sqrt (13)) <-126,84,0> #
ou equivalente,
# vecu = <-3 / (sqrt (13)), 2 / (sqrt (13)), 0> #
Você também pode optar por racionalizar o denominador:
# vecu = <(-3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #
Qual é o vetor unitário que é ortogonal ao plano contendo (i + j - k) e (i - j + k)?
Sabemos que se vec C = vec A × vec B então vec C é perpendicular a ambos vec A e vec B Então, o que precisamos é apenas encontrar o produto cruzado dos dois vetores dados. Então, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Então, o vetor unitário é (-2 (hatk + hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)
Qual é o vetor unitário que é ortogonal ao plano contendo <0, 4, 4> e <1, 1, 1>?
A resposta é = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉 O vetor que é perpendicular a 2 outros vetores é dado pelo produto vetorial. 〈0,4,4〉 x 〈1,1,1〉 = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = 〈0,4, -4〉 Verificação fazendo os produtos de pontos 〈0,4,4〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 16-16 = 0 〈1,1,1〉 〈0,4, -4〉 = 0 + 4-4 = 0 O módulo de 〈0,4, -4〉 é = 〈0,4, - 4〉 = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 O vetor unitário é obtido dividindo-se o vetor pelo módulo = 1 / (4sqrt2) 〈0,4, -4〉 = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉
Qual é o vetor unitário que é ortogonal ao plano contendo (8i + 12j + 14k) e (2i + j + 2k)?
Duas etapas são necessárias: Pegue o produto cruzado dos dois vetores. Normalize o vetor resultante para torná-lo um vetor unitário (comprimento de 1). O vetor unitário, então, é dado por: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt500j-16 / sqrt500k) 1. O produto vetorial é dado por: (8i + 12j + 14k) xx (2i + j + 2k) = (( 12 * 2-14 * 1) i + (14 * 2-8 * 2) j + (8 * 1-12 * 2) k) = (10i + 12j-16k) Para normalizar um vetor, encontre seu comprimento e divida cada coeficiente por esse comprimento. r = sqrt (10 ^ 2 + 12 ^ 2 + (- 16) ^ 2) = sqrt500 ~~ 22.4 O vetor unitário, então, é dado por: