Como você encontra o pecado (x / 2), cos (x / 2) e tan (x / 2) do Cot (x) = 13?

Responda:

Na verdade, existem quatro valores para # x / 2 # no círculo unitário, então quatro valores para cada função trigonométrica. O valor principal do meio ângulo é em torno # 2.2 ^ circ. #

#cos (texto 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (texto 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (texto 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = bronzeado 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Por favor, veja a explicação para os outros.

Explicação:

Vamos falar sobre a resposta um pouco antes. Existem dois ângulos no círculo unitário cuja cotangente é #13#. Um está por perto # 4.4 ^ circ #e outro é aquele mais # 180 ^ circ #, chame-o # 184.4 ^ circ #. Cada um desses tem dois meios ângulos, novamente separados por # 180 ^ circ. # O primeiro tem meio ângulo # 2.2 ^ circ # e # 182.2 ^ circ #, o segundo tem meio-ângulo # 92.2 ^ circ # e # 272.2 ^ circ #Então, existem quatro ângulos em questão, com valores diferentes, mas relacionados, para suas funções trigonométricas.

Nós vamos usar os ângulos acima como aproximações, então temos nomes para eles.

Ângulos com cotangente de 13:

#text {Arc} text {cot} 13 aproximadamente 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arco} texto {cot} 13 aproximadamente 184.4 ^ circ #

Meio ângulos:

# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 aproximadamente 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + texto {Arc} texto {cot} 13) aprox. 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arco} texto {cot} 13) aprox. 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + texto {Arc} texto {cot} 13) aprox. 272,2 ^ circ #

OK, as fórmulas de duplo ângulo para cosseno são:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

Portanto, as fórmulas de meio ângulo relevantes são

#sin a = pm sqrt {1/2 (1 cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Isso é tudo preliminar. Vamos fazer o problema.

Nós vamos fazer o pequeno ângulo primeiro, # 2.2 ^ circ. # Nós vemos o resto deles são apenas múltiplos de # 90 ^ circ # acima disso, para que possamos obter suas funções trigonométricas a partir desse primeiro ângulo.

Uma cotangente de 13 é uma inclinação de #1/13# então corresponde a um triângulo retângulo com o oposto #1#, adjacente #13# e hipotenusa #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (texto {Arco} texto {cot} 13) = cos 4,4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (texto {Arco} texto {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Agora nós aplicamos as fórmulas de meio ângulo. Para nosso pequeno ângulo no primeiro quadrante, escolhemos os sinais positivos.

#cos (texto 1 / 2text {Arc} {berço} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))}} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Poderíamos tentar simplificar e mover as frações para fora do radical, mas vou deixá-lo aqui.

#sin (texto 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))}} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

O semi-ângulo tangente é o quociente deles, mas é mais fácil de usar

# tan (teta / 2) = {sen teta} / {1 + cos teta} #

#tan (texto de 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, essa é a parte mais difícil, mas não esqueçamos os outros ângulos.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Agora temos os ângulos restantes, que trocam seno e cosseno, invertendo sinais. Não vamos repetir os formulários, exceto pela tangente.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Ufa

Responda:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (carmesim) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Explicação:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot # 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ~ 2 (x / 2) #

Mas você sabe #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Quando #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Quando #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26,0384) ^ 2) = 1,0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0,0384 #