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Veja explicação
Explicação:
Deixei # a = p / q # Onde # p # e # q # são inteiros positivos.
# 1ltp / q # assim sendo # qltp #. # p / qlt2 # assim sendo # plt2q #. Assim sendo # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Tópicos mais avançados à frente ~~
* Isso pressupõe que, como # p # aumenta, # (p + q) ^ 2 / (pq) # aumenta. Isto pode ser verificado intuitivamente, olhando para o gráfico # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # em #x em (q, 2q) # para vários valores positivos de # q #, ou pelo processo de cálculo abaixo.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Em #p in (q, 2q) #:
Desde a # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # portanto # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Desde a #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Desde a # p ^ 2-q ^ 2gt0 # e # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Desde a # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # e # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Assim sendo # (p + q) ^ 2 / (pq) # está aumentando para constante # q # e # qltplt2q # Porque # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # é positivo.
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Responda:
Na descrição
Explicação:
Aqui restrição (1):
# 1 <a <2 #
Restrição (2):
Pelo teorema recíproco, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
Na restrição 1 adicione 1 em ambos os lados, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (vermelho) (a + 1 <3) #
Na mesma restrição, acrescente 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Mais uma vez note que, #2 <2+1/2#
assim # a + 1/2 # deve ser menor que 2
#color (vermelho) (a + 1/2) <2 #
Portanto, na restrição 2, # 1> a> 1/2 #
Adicione um dos dois lados, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Nós fizemos isso porque # a + 1 <3 #
assim # a + 1 / a # deve ser menor que 3.
Novamente # a + 1/2 <2 # mas nessa restrição # a + 1 / a> a + 1/2 #
Assim, # a + 1 / a # deve ser maior que 2.
Conseqüentemente, # 1> 1 / a> 1 2 #
Adicionando um em ambos os lados, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # provou
