Quais são os valores de r (com r> 0) para os quais a série converge?

Responda:

#r <1 / e # é a condição para a convergência de #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Explicação:

Vou apenas responder a parte sobre a convergência, a primeira parte foi respondida nos comentários. Podemos usar # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # reescrever a soma #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # na forma

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {para} p = -ln (r) #

A série à direita é a forma de série da famosa função Riemann Zeta. Sabe-se que esta série converge quando #p> 1 #. Usando este resultado diretamente dá

# -ln (r)> 1 implica que ln (r) <- 1 implica r <e ^ -1 = 1 / e #

O resultado sobre as funções de Riemann Zeta é muito bem conhecido, se você quiser ab initio resposta, você pode tentar o teste integral para convergência.