# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # é da forma # y ^ 2-2y + 1 # Onde #y = x ^ 3 #.
Esta fórmula quadrática em # y # fatores como segue:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
assim # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
assim # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # não tem fatores lineares com coeficientes reais. Para verificar este aviso que é da forma # ax ^ 2 + bx + c #, que tem discriminante:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Sendo negativo, a equação # x ^ 2 + x + 1 = 0 # não tem raízes reais.
Uma maneira de verificar a resposta é substituir um valor por # x # isso não é uma raiz em ambos os lados e ver se conseguimos o mesmo resultado:
Experimentar # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Comparar:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Bem, isso funcionou!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # é razoavelmente fácil de fatorar, porque é um quadrado perfeito. Como eu sei disso? É um trinômio na forma # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #e todos os trinômios dessa forma são quadrados perfeitos.
Este trinômio é o quadrado perfeito de # (x ^ 3 - 1) #. Para verificar meu trabalho, trabalharei para trás:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Então, esse trinômio tem fatores de #1#, # x ^ 3 - 1 #e # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
No entanto, como foi apontado para mim, # (x ^ 3 - 1) # também tem fatores. Já que é um binômio da forma # a ^ 3 - b ^ 3 #, também pode ser escrito como # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Assim, # (x ^ 3 - 1) # fatores em # (x - 1) # e # (x ^ 2 + x + 1) #, ambos são primos.
Os fatores de # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # está:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Mais especificamente, a fatoração PRIME # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # é:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
