Responda:
# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Explicação:
Como esse quártico não tem raízes racionais (e não posso ser incomodado com as fórmulas), começamos usando o método de Newton para aproximar as raízes:
# x ~~ -0,303 #
# x ~~ -0.618 #
# x ~~ 1.618 #
# x ~~ 3.303 #
Destes, descobrimos que # x ~~ -0.618 # e # x ~~ 1.618 # se destacarem. Nós reconhecemos estes como a proporção áurea:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 #
Também podemos verificar se são raízes, ligando-as à equação, mas você pode simplesmente acreditar que elas são realmente raízes.
Isso significa que o seguinte é um fator da equação:
# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = x ^ 2-x-1 #
Desde então sabemos # x ^ 2-x-1 # é um fator, podemos usar a divisão longa polinomial para descobrir o restante e reescrever a equação da seguinte forma:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
Já descobrimos quando o fator esquerdo é igual a zero, então agora olhamos para a direita. Podemos resolver o quadrático usando a fórmula quadrática para obter:
# x = (3 + -sqrt13) / 2 #
