Por que um número elevado a um poder negativo é recíproco nesse número?

Resposta simples:

Faremos isso trabalhando de trás para frente.

Como você pode fazer #2^2# fora de #2^3#?

Bem, você divide por 2: #2^3/2 = 2^2#

Como você pode fazer #2^1# fora de #2^2#?

Bem, você divide por 2: #2^2/2 = 2^1#

Como você pode fazer #2^0 (=1)# fora de #2^1#?

Bem, você divide por 2: #2^1/2 = 2^0 = 1#

Como você pode fazer #2^-1# fora de #2^0#?

Bem, você divide por 2: #2^0/2 = 2^-1 = 1/2#

Prova porque este deve ser o caso

A definição do recíproco é: "um número recíproco multiplicado por esse número deve dar a você 1".

Deixei # a ^ x # seja o número.

# a ^ x * 1 / a ^ x = 1 #

Ou você também pode dizer o seguinte:

# a ^ x * a ^ -x = a ^ (x + (- x)) = a ^ (x-x) = a ^ 0 = 1 #

Já que ambos são iguais a #1#, você pode defini-los como iguais:

# a ^ x * a ^ -x = a ^ x * 1 / a ^ x #

Divida os dois lados por # a ^ x #:

# a ^ -x = 1 / a ^ x #

E você tem sua prova.