Quais são as soluções para (z-1) ^ 3 = 8i?

Responda:

#z em {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Explicação:

Para este problema, precisaremos saber como encontrar o # n ^ "th" # raízes de um número complexo. Para fazer isso, vamos usar a identidade

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

Devido a essa identidade, podemos representar qualquer número complexo como

# a + bi = Re ^ (itheta) # Onde #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e #theta = arctan (b / a) #

Agora vamos passar os passos para encontrar o # 3 ^ "rd" # raízes de um número complexo # a + bi #. Os passos para encontrar o # n ^ "th" # raízes são semelhantes.

Dado # a + bi = Re ^ (itheta) # estamos procurando por todos os números complexos # z # de tal modo que

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Como # z # é um número complexo, existe # R_0 # e # theta_0 # de tal modo que

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Então

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

A partir disso, temos imediatamente # R_0 = R ^ (1/3) #. Nós também podemos igualar os expoentes de # e #, mas notando que como seno e cosseno são periódicos com período # 2pi #, então a partir da identidade original, # e ^ (itheta) # será também. Então nós temos

# 3itheta_0 = i (teta + 2pik) # Onde #k em ZZ #

# => theta_0 = (teta + 2pik) / 3 # Onde #k em ZZ #

No entanto, como se continuássemos adicionando # 2pi # mais e mais, vamos acabar com os mesmos valores, podemos ignorar os valores redundantes, adicionando a restrição # theta_0 em 0, 2pi) #, isso é, #k em {0, 1, 2} #

Juntando tudo, conseguimos o conjunto de soluções

#z em {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((teta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (eu (teta + 4pi) / 3)} #

Podemos converter isso de volta para # a + bi # forma, se desejado, usando a identidade

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

Aplicando o acima para o problema em questão:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Usando o processo acima, podemos encontrar o # 3 ^ "rd" # raízes de #Eu#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) em {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Aplicando # e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) # temos

# i ^ (1/3) em {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Finalmente, nós substituímos nestes valores por #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z em {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #