Qual é o intervalo de y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Primeiro, vamos considerar o domínio:

Para quais valores de # x # é a função definida?

O numerador # (1-x) ^ (1/2) # só é definido quando # (1-x)> = 0 #. Adicionando # x # para ambos os lados disso você encontra #x <= 1 #.

Também exigimos que o denominador seja diferente de zero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # é zero quando #x = -1 / 2 # e quando #x = -1 #.

Então o domínio da função é

# {x em RR: x <= 1 e x! = -1 e x! = -1/2} #

Definir #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # neste domínio.

Vamos considerar cada intervalo contínuo no domínio separadamente:

Em cada caso, vamos #epsilon> 0 # ser um pequeno número positivo.

Caso (a): #x <-1 #

Para grandes valores negativos de # x #, #f (x) # é pequeno e positivo.

No outro extremo deste intervalo, se #x = -1 - epsilon # então

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # Como #epsilon -> 0 #

Então para #x <-1 # o alcance de #f (x) # é # (0, + oo) #

Caso (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # Como #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Então para # -1 / 2 <x <= 1 # o alcance de #f (x) # é # 0, + oo) #

Caso (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # Como #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # Como #epsilon -> 0 #

Então a questão interessante é qual é o valor máximo de #f (x) # neste intervalo. Para encontrar o valor de # x # para o qual isso ocorre, procure a derivada como zero.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Isso será zero quando o numerador for zero, então gostaríamos de resolver:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Multiplique-se por # 2 (1-x) ^ (1/2) # para obter:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Isso é:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

que tem raízes # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Dessas raízes, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # cai no intervalo em causa.

Substitua isso de volta #f (x) # para encontrar o máximo de #f (x) nesse intervalo (aproximadamente -10).

Isso parece complexo demais para mim. Eu cometi algum erro?

Responda: O alcance da função é # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

Para #x em (-oo, -1) # #-># #y em (0, oo) #

Para #x em (-1, -0.5) # #-># #y em (-oo, -10,58) #

Para #x em (-0,5, 1) # #-># #y em 0, oo) #