O múltiplo menos comum de 84 e N é 504. Como encontrar "N"?

Responda:

#N = 72 # ou # N = 504 #

Explicação:

O múltiplo menos comum (LCM) de dois inteiros #uma# e # b # é o menor número # c # de tal modo que #an = c # e #bm = c # para alguns inteiros # n # e # m #.

Podemos encontrar o MMC de dois inteiros olhando suas fatorações primárias, e então pegando o produto com o menor número de primos necessários para "conter" ambos. Por exemplo, para encontrar o menor múltiplo comum de #28# e #30#, nós notamos que

#28 = 2^2*7#

e

#30 = 2*3*5#

Para ser divisível por #28#, o LCM deve ter #2^2# como um fator. Isso também cuida do #2# em #30#. Para ser divisível por #30#, também deve ter #5# como fator. Finalmente, deve ter #7# como um fator, também, para ser divisível por #28#. Assim, o MMC de #28# e #30# é

#2^2*5*7*3 = 420#

Se olharmos para as fatorações primárias de #84# e #504#, temos

#84 = 2^2*3*7#

e

#504 = 2^3*3^2*7#

Trabalhando para trás, sabemos que #2^3# deve ser um fator de # N #, ou então o LCM só precisaria #2^2# como um fator. Da mesma forma, sabemos #3^2# é um fator de # N # ou então o LCM só precisaria #3# como um fator. Então como #7#, o único outro fator do LCM, é necessário para #84#, # N # pode ou não ter #7# como um fator. Assim, as duas possibilidades para # N # está:

#N = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 72 #

ou

#N = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 7 = 504 #