Responda:
Nenhuma solução em # RR #.
Explicação:
Primeiro de tudo, vamos simplificar um pouco:
Como # e ^ x # e #ln (x) # são funções inversas, # e ^ ln (x) = x # detém, bem como #ln (e ^ x) = x #. Isso significa que você pode simplificar seu terceiro termo logarítmico:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Seu próximo objetivo é trazer todos os #registro# funções para a mesma base para que você tenha a chance de usar regras de logaritmo nelas e simplificar.
Você pode alterar a base do logaritmo da seguinte maneira:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Vamos usar essa regra para mudar a base #8# do # log_8 # e a base #32# do # log_32 # basear #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Agora podemos calcular # log_2 (8) = 3 # e # log_2 (32) = 5 #
(caso não esteja claro, deixe-me dividi-lo apenas para ter certeza: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Isso nos leva à seguinte equação logarítmica, mais simples:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… multiplique ambos os lados com #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Agora estamos prontos para usar as regras do logaritmo:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # e #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
O objetivo é ter apenas um #registro# termo no lado esquerdo. Vamos fazer isso.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
Neste ponto, podemos nos livrar do # log_2 (a) # aplicando a função inversa # 2 ^ a # para ambos os lados da equação.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Infelizmente, tenho que admitir que estou preso neste momento, pois não sei como resolver essa equação.
No entanto, plotando #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # me diz que esta equação não tem soluções em # RR #.
gráfico {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Espero que isso tenha ajudado um pouco!
