Por que fatores fatoriais não existem para números negativos?

Responda:

Haveria uma contradição com a sua função, se existisse.

Explicação:

Um dos principais usos práticos do fatorial é fornecer o número de maneiras de permutar objetos. Você não pode permutar #-2# objetos porque você não pode ter menos de #0# objetos!

Responda:

Depende do que você quer dizer …

Explicação:

Factorials são definidos para números inteiros da seguinte forma:

#0! = 1#

# (n + 1)! = (n + 1) n! #

Isso nos permite definir o que queremos dizer com "Fatorial" para qualquer inteiro não negativo.

Como essa definição pode ser estendida para cobrir outros números?

Função gama

Existe uma função contínua que nos permite "unir os pontos" e definir "Fatorial" para qualquer número real não negativo?

Sim.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

A integração por partes mostra que # Gamma (t + 1) = t Gama (t) #

Para inteiros positivos # n # nós achamos #Gamma (n) = (n-1)! #

Podemos estender a definição de #Gamma (t) # para números negativos usando #Gamma (t) = (gama (t + 1)) / t #, exceto no caso #t = 0 #.

Infelizmente isso significa que #Gamma (t) # não é definido quando # t # é zero ou um inteiro negativo. o #Gama# função tem um pólo simples em #0# e inteiros negativos.

Outras opções

Existem outras extensões de "Fatorial" que possuem valores para inteiros negativos?

Sim.

O Factorial Romano é definido da seguinte forma:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, se n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), se n < 0):} #

Este é nomeado após um matemático S. Roman, não os romanos e é usado para fornecer uma notação conveniente para os coeficientes do logaritmo harmônico.