Qual é a raiz do 97?

Responda:

#sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

Explicação:

Desde a #97# é um número primo, não contém fatores quadrados maiores que #1#. Como um resultado #sqrt (97) # não é simplificável e é irracional.

Desde a #97# é um pouco menos que #100 = 10^2#, #sqrt (97) # é um pouco menos que #10#.

De fato #sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

#cor branca)()#

Bônus

Um rápido esboço de uma prova de que #sqrt (97) # não é expressável na forma # p / q # para alguns inteiros #p, q # vai assim …

#cor branca)()#

Supor #sqrt (97) = p / q # para alguns inteiros #p> q> 0 #.

Sem perda de generalidade, vamos #p, q # seja o menor par de inteiros.

Então nós temos:

# 97 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplicando ambos os lados por # q ^ 2 # Nós temos:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 #

O lado esquerdo é um inteiro divisível por #97#, assim # p ^ 2 # é divisível por #97#.

Desde a #97# é primo, isso significa que # p # deve ser divisível por #97#digamos #p = 97r # para algum inteiro # r #.

Assim:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 = (97 r) ^ 2 = 97 ^ 2 r ^ 2 #

Divida ambos os lados por # 97r ^ 2 # para obter:

# q ^ 2 / r ^ 2 = 97 #

Conseqüentemente: #sqrt (97) = q / r #

Agora #p> q> r> 0 #.

assim #q, r # é um par menor de inteiros com quociente #sqrt (97) #contradizendo nossa hipótese. Então a hipótese é falsa. Não há par de inteiros #p, q # com #sqrt (97) = p / q #.