Qual é a probabilidade de ganhar o seguinte jogo infinitamente repetido?

Responda:

# "Resposta D)" #

Explicação:

# "É a única resposta lógica, os outros são impossíveis." #

# "Este é o problema de ruína do jogador." #

# "Um jogador começa com k dólar." #

# "Ele joga até chegar a G dólar ou cair de volta para 0." #

#p = "chance de ganhar 1 dólar em um jogo." #

#q = 1 - p = "chance de ele perder 1 dólar em um jogo." #

# "Chame" r_k "a probabilidade (chance) de que ele seja arruinado." #

#"Então nós temos"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "com" 1 <= k <= G-1 #

# "Podemos reescrever esta equação devido a p + q = 1 da seguinte forma:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Agora aqui temos o caso" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Para" r_k "temos" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Então o jogador A começa aqui com k = um dólar e joga até" #

# "ele fica arruinado ou tem um dólar + b". #

# => k = a, "e" G = a + b #

# "Então as chances de ele ser arruinado são" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "As chances de ele ganhar são" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Resposta D)" #