Qual é a derivada implícita de 4 = (x + y) ^ 2?

Responda:

Você pode usar o cálculo e passar alguns minutos com esse problema ou pode usar a álgebra e passar alguns segundos, mas de qualquer forma você terá # dy / dx = -1 #.

Explicação:

Comece tomando a derivada em relação a ambos os lados:

# d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

À esquerda, temos a derivada de uma constante - que é apenas #0#. Isso divide o problema em:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Avaliar # d / dx (x + y) ^ 2 #, precisamos usar a regra de energia e a regra da cadeia:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Nota: nós multiplicamos por # (x + y) '# porque a regra da cadeia nos diz que temos que multiplicar a derivada da função inteira (neste caso # (x + y) ^ 2 # pela função interior (neste caso # (x + y) #).

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Quanto a # (x + y) '#, observe que podemos usar a regra da soma para dividi-la # x '+ y' #. # x '# e simples #1#, e porque nós não sabemos realmente o que # y # é, nós temos que sair # y '# Como # dy / dx #:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Agora que encontramos nossa derivada, o problema é:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Fazendo alguma álgebra para isolar # dy / dx #, Nós vemos:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (x + y) #

# dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Curiosamente, isso é igual #-1# para todos # x # e # y # (exceto quando # x = -y #). Assim sendo, # dy / dx = -1 #. Nós poderíamos ter descoberto isso sem usar nenhum cálculo! Olhe a equação # 4 = (x + y) ^ 2 #. Pegue a raiz quadrada de ambos os lados para obter # + - 2 = x + y #. Agora subtrair # x # de ambos os lados, e nós temos #y = + - 2-x #. Lembre-se disso da álgebra? A inclinação dessa linha é #-1#e como a derivada é a inclinação, poderíamos ter acabado de dizer # dy / dx = -1 # e evitei todo esse trabalho.

Qual é a derivada implícita de 1 = x / y-e ^ (xy)?

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Primeiro temos que saber que podemos diferenciar cada parte separadamente = 2x + 3 podemos diferenciar 2x e 3 separadamente dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Assim similarmente podemos diferenciar 1, x / y e ^ (xy) separadamente dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Regra 1: dy / dxC rArr 0 derivada de uma constante é 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y nós temos que diferencie isso usando a regra de quociente Regra 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 ou (vu'-uv ') / v ^ 2 u = x rArr u'

Qual é a derivada implícita de 1 = x / y?

Dy / dx = y / x Como y = x, dy / dx = 1 Temos f (x, y) = x / y = 1 x / y = xy ^ -1 Primeiro derivamos em relação a x primeiro: d / dx [xy ^ -1] = d / dx [1] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = 0 Usando a regra da cadeia, obtemos: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ -1 + dy / dxxd / dx [y ^ -1] = 0 y ^ -1 + dy / dx-xy ^ -2 = 0 dy / dxxy ^ -2 = y ^ -1 dy / dx = y ^ - 1 / (xy ^ -2) = y ^ 2 / (xy) = y / x Como sabemos que y = x podemos dizer que dy / dx = x / x = 1

Qual é a derivada implícita de 1 = e ^ y-xcos (xy)?

(dy) / dx = (csoxy-xysinxy) / (e ^ y + x ^ 2 (sinxy)) 1 = e ^ y-xcos (xy) rArr (d1) / dx = d / dx (e ^ y-xcos (xy)) rArr0 = (de ^ y) / dx- (d (xcos (xy))) / dx rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (((dx) / dx) csxxy + x (dcosxy) / dx) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (csxy + x (dxy) / dx (-sinxy)) rArr = (dy / dx) e ^ y- (cscrito + x ((y + x (dy) ) / dx) (- sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x (-ysinxy-x (dy) / dx (sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (cosxy-xysinxy-x ^ 2 (dy) / dx (sinxy)) rArr = (dy / dx) e ^ y-csoxy + xysinxy + x ^ 2 (dy) / dx (sinxy) rArr = (dy / dx e ^ y + x ^ 2 (dy) / dx (sinxy) -cosxy + xysinxy rArr0 = (dy / dx)