Como você resolve um ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Então nós temos:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Subtraindo 1/4 de ambos os lados, obtemos:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Isso não tem soluções numéricas reais, já que o quadrado de qualquer número real não é negativo.

Se você quiser soluções complexas, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Adicionando #sqrt (3/2) # para os dois lados, ficamos

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Eu começaria a aplicar a fórmula para resolver equações quadráticas (na verdade, essa é uma equação quadrática em "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Como você pode ver, a equação não tem solução real, já que tem uma raiz quadrada de um número negativo (#sqrt (-1) #).

• Então, se você está trabalhando com números reais, a resposta é que não há #a em RR # que faz # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Mas se você está trabalhando com números complexos, então há duas soluções:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # e # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.