Qual é o ortocentro de um triângulo com cantos em (4, 9), (7, 4) e (8, 1) #?

Responda:

Orthocenter: #(43,22)#

Explicação:

O ortocentro é o ponto de intersecção de todas as altitudes do triângulo. Quando dadas as três coordenadas de um triângulo, podemos encontrar equações para duas das altitudes e, em seguida, encontrar onde elas se cruzam para obter o ortocentro.

Vamos ligar #color (vermelho) ((4,9) #, #color (azul) ((7,4) #e #color (verde) ((8,1) # coordenadas #color (vermelho) (A #,# cor (azul) (B #e #color (verde) (c # respectivamente. Nós vamos encontrar equações para linhas #color (carmesim) (AB # e #color (cornflowerblue) (BC #. Para encontrar essas equações, precisaremos de um ponto e uma inclinação. (Nós vamos usar a fórmula de declive do ponto).

Nota: A inclinação da altitude é perpendicular à inclinação das linhas. A altitude tocará uma linha e o ponto que fica fora da linha.

Primeiro, vamos resolver #color (carmesim) (AB #:

Inclinação: #-1/({4-9}/{7-4})=3/5#

Ponto: #(8,1)#

Equação: # y-1 = 3/5 (x-8) -> cor (carmesim) (y = 3/5 (x-8) + 1 #

Então vamos encontrar #color (cornflowerblue) (BC #:

Inclinação: #-1/({1-4}/{8-7})=1/3#

Ponto: #(4,9)#

Equação: # y-9 = 1/3 (x-4) -> cor (cornflowerblue) (y = 1/3 (x-4) + 9 #

Agora, apenas definimos as equações iguais entre si e a solução seria o ortocentro.

#color (carmesim) (3/5 (x-8) +1) = cor (cornflowerblue) (1/3 (x-4) + 9 #

# (3x) / 5-24 / 5 + 1 = (x) / 3-4 / 3 + 9 #

# -24 / 5 + 1 + 4 / 3-9 = (x) / 3- (3x) / 5 #

# -72 / 15 + 15/15 + 20 / 15-135 / 15 = (5x) / 15- (9x) / 15 #

# -172 / 15 = (- 4x) / 15 #

#color (darkmagenta) (x = -172 / 15 * -15 / 4 = 43 #

Ligue o # x #-valor de volta em uma das equações originais para obter a coordenada y.

# y = 3/5 (43-8) + 1 #

# y = 3/5 (35) + 1 #

#color (coral) (y = 21 + 1 = 22 #

Orthocenter: # (cor (darkmagenta) (43), cor (coral) (22)) #