O que o 2º Teste Derivativo diz sobre o comportamento de f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 nesses números críticos?

Responda:

O Segundo Teste Derivativo implica que o número crítico (ponto) # x = 4/7 # dá um mínimo local para # f # enquanto dizendo nada sobre a natureza do # f # nos números críticos (pontos) # x = 0,1 #.

Explicação:

E se #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, então a regra do produto diz

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Configurando este igual a zero e resolvendo para # x # implica que # f # tem números críticos (pontos) em # x = 0,4 / 7,1 #.

Usando a regra do produto novamente:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Agora #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #e #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

O Segundo Teste Derivado, portanto, implica que o número crítico (ponto) # x = 4/7 # dá um mínimo local para # f # enquanto dizendo nada sobre a natureza do # f # nos números críticos (pontos) # x = 0,1 #.

Na verdade, o número crítico (ponto) em # x = 0 # dá um máximo local para # f # (e o Primeiro Teste Derivado é forte o suficiente para implicar isso, mesmo que o Segundo Teste Derivativo não forneça informações) e o número crítico (ponto) em # x = 1 # não dá nem um max local nem min para # f #, mas um (unidimensional) "ponto de sela".