O resultado é # 5x ^ 4 + x ^ 3-22x ^ 2-4x + 8 = 5 (x + 2) (x-2) (x - ((- 1 + sqrt41) / 10)) (x - ((- 1- sqrt41) / 10)) #.
O procedimento é o seguinte:
Você tem que aplicar a Regra de Ruffini tentando os divisores do termo independente (neste caso, os divisores de 8) até encontrar um que torne o resto da divisão zero.
Eu comecei com +1 e -1, mas não funcionou, mas se você tentar (-2) você consegue:
! 5 1 -22 -4 8 -2! -10 +18 +8 -8 _____________________ 5 -9 -4 +4 0
O que você tem aqui é que # 5x ^ 4 + x ^ 3-22x ^ 2-4x + 8 = (x + 2) (5x ^ 3-9x ^ 2-4x + 4) #. A propósito, lembre-se que se você conseguiu aplicar a Regra de Ruffini com um certo número "a" (neste caso, com (-2)), você tem que escrever o fator como (xa) (neste caso, x - (- 2)), que é (x + 2).
Agora você tem um fator (x + 2) e você tem que continuar o mesmo processo com # 5x ^ 3-9x ^ 2-4x + 4 #.
Se você tentar agora com +2, você irá receber:
! 5 -9 -4 4 2 ! 10 2 -4 __________________ 5 +1 -2 0
Então, o que você tem agora é que # 5x ^ 3-9x ^ 2-4x + 4 = (x-2) (5x ^ 2 + x-2) #.
E resumindo o que fizemos até agora:
# 5x ^ 4 + x ^ 3-22x ^ 2-4x + 8 = (x + 2) (x-2) (5x ^ 2 + x-2) #.
Agora, você tem dois fatores: (x + 2) e (x-2) e você tem que se decompor # 5x ^ 2 + x-2 #.
Neste caso, em vez de aplicar a Regra de Ruffini, aplicaremos a fórmula de resolução clássica à equação quadrática: # 5x ^ 2 + x-2 = 0 #, que será: # x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (5) (- 2))) / 10 = ((-1) + - sqrt (41)) / 10 #e isso lhe dará duas soluções:
# x_1 = ((- 1) + sqrt41) / 10 # e # x_2 = ((- 1) -sqrt41) / 10 #, quais são os dois últimos fatores.
Então, o que temos agora é que # 5x ^ 2 + x-2 = 5 (x - (- 1 + sqrt41) / 10) (x - (- 1-sqrt41) / 10) # note que a fatoração precisa ser multiplicada pelo coeficiente do # x ^ 2 #.
Então a solução é: # 5x ^ 4 + x ^ 3-22x ^ 2-4x + 8 = 5 (x + 2) (x-2) (x - (- 1 + sqrt41) / 10) (x - (- 1-sqrt41) / 10) #.
