Como diferenciar e simplificar: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Responda:

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanino #

Explicação:

Eu gosto de definir o problema igual a y, se já não é. Também ajudará nosso caso a reescrever o problema usando propriedades de logaritmos;

#y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) #

Agora fazemos duas substituições para facilitar a leitura do problema;

Digamos #w = cosh (lnx) #

e #u = cosx #

agora;

#y = ln (w) + ln (u) #

ahh, podemos trabalhar com isso:)

Vamos pegar a derivada em relação a x de ambos os lados. (Como nenhuma de nossas variáveis são x isso será diferenciação implícita)

# d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) #

Bem, nós sabemos a derivada de # lnx # ser estar # 1 / x # e usando a regra da cadeia nós conseguimos;

# dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx #

Então vamos voltar para #u e w # e encontrar seus derivados

# (du) / dx = d / dxcosx = -sinx #

e

# (dw) / dx = d / dxcosh (lnx) = sinh (lnx) * 1 / x # (usando a regra da cadeia)

Conectando nossos derivados recém-encontrados, e você e w de volta # dy / dx # Nós temos;

# dy / dx = 1 / cosh (lnx) * sen (lnx) / x + 1 / cosx * -sinx #

# dy / dx = sinh (lnx) / (xcosh (lnx)) - sinx / cosx #

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanino #

Se isso puder ser simplificado ainda mais, não aprendi como. Espero que isso tenha ajudado:)