Se você rolar um único dado, qual é o número esperado de testes necessários para rolar todos os números uma vez?

Responda:

# 14.7 "rolls" #

Explicação:

#P "todos os números lançados" = 1 - P "1,2,3,4,5 ou 6 não jogados" #

#P "A ou B ou C ou D ou E ou F" = P A + P B + … + P F - #

#P A e B - P A e C …. + P A e B e C + … #

# "Aqui esta é" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "O negativo disso é nossa probabilidade" #

#sum n * a ^ (n-1) = soma (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) soma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = soma n * P "todos os números lançados após n lançados" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Temos que subtrair um por causa da condição inicial P_1 (0)" #

# "dá um valor defeituoso P = 1 para n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Responda:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Explicação:

Pense nisso como seis mini-jogos. Para cada jogo, rolamos o dado até lançarmos um número que ainda não foi lançado - o que vamos chamar de "vitória". Então começamos o próximo jogo.

Deixei # X # seja o número de rolos necessários para rolar todos os números pelo menos uma vez (ou seja, ganhar todos os 6 minijogos) e deixar #XI# seja o número de rolos necessários para "ganhar" o número do mini-jogo #Eu# (para #Eu# de 1 a 6). Então cada #XI# é uma variável aleatória geométrica com distribuição # "Geo" (p_i) #.

O valor esperado de cada variável aleatória Geométrica é # 1 / p_i #.

Para o primeiro jogo, # p_1 = 6/6 # já que todos os 6 resultados são "novos". Portanto, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Para o segundo jogo, 5 dos 6 resultados são novos, então # p_2 = 5/6 #. Portanto, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Para o terceiro jogo, 4 dos 6 rolos possíveis são novos, então # p_3 = 4/6 #significado # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Por este ponto, podemos ver um padrão. Uma vez que o número de lançamentos "vencedores" diminui em 1 para cada novo jogo, a probabilidade de "ganhar" cada jogo cai de #6/6# para #5/6#, então #4/6#, etc., o que significa que o número esperado de jogadas por jogo vai de #6/6# para #6/5#, para #6/4#, e assim por diante, até o último jogo, onde esperamos levar 6 rolos para obter o último número.

Portanto:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (branco) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (branco) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (branco) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (branco) ("E" (X)) = 14,7 #