Pergunta # c7520

Responda:

Use a identidade de ângulo duplo para seno e o círculo unitário para encontrar soluções de # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #e # (3pi) / 2 #.

Explicação:

Primeiro, usamos a identidade importante # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Agora podemos fatorar # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

E usando a propriedade zero do produto, obtemos soluções de:

# costheta = 0 "e" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Então, quando é que # costheta = 0 # no intervalo #pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? As soluções podem ser encontradas usando o círculo unitário e uma propriedade da função cosseno:

#cos (-theta) = costheta #

E se # theta = pi / 2 #, então:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Do círculo unitário, sabemos que #cos (pi / 2) = 0 #, o que também significa #cos (-pi / 2) = 0 #; então duas soluções são #pi / 2 # e # pi / 2 #. Além disso, o círculo unitário nos diz que #cos ((3pi) / 2) = 0 #, então temos outra solução lá.

Agora, para # sintheta = 1/2 #. Novamente, precisaremos do círculo unitário para encontrar nossas soluções.

Nós sabemos do círculo unitário que #sin (pi / 6) = 1/2 #e #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, então nós adicionamos # pi / 6 # e # (5pi) / 6 # à lista de soluções.

Finalmente, colocamos todas as nossas soluções juntas: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #e # (3pi) / 2 #.

The Unit Circle