Marte tem uma temperatura média da superfície de cerca de 200K. Plutão tem uma temperatura superficial média de cerca de 40K. Qual planeta emite mais energia por metro quadrado de superfície por segundo? Por um fator de quanto?

Responda:

Marte emite #625# vezes mais energia por unidade de área de superfície do que Plutão.

Explicação:

É óbvio que um objeto mais quente emitirá mais radiação do corpo negro. Assim, já sabemos que Marte emitirá mais energia que Plutão. A única questão é quanto.

Este problema requer a avaliação da energia da radiação do corpo negro emitida por ambos os planetas. Essa energia é descrita como uma função da temperatura e da freqüência que é emitida:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2nu) / c (hnu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Integrar a frequência acima dá a potência total por unidade de área em função da temperatura:

# int_0 ^ in E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(note que a equação acima usa # barh #, a constante de Planck reduzida, ao invés de # h #. É difícil ler na notação socrática)

Resolvendo a razão entre os dois, o resultado é incrivelmente simples. E se # T_p # é a temperatura de Plutão e # T_m # é a temperatura de Marte, então o fator #uma# pode ser calculado com:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2k ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # vezes mais