Encontre todos os pontos críticos para esta função?

Responda:

#(0,-2)# é um ponto de sela

#(-5,3)# é um mínimo local

Explicação:

Nos é dado #g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde # (delg) / (delx) # e # (delg) / (dely) # ambos iguais 0.

# (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# x = -y-2 #

# -y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# y ^ 2-y-6 = 0 #

# (y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 ou -2 #

# x = -3-2 = -5 #

# x = 2-2 = 0 #

Pontos críticos ocorrem em #(0,-2)# e #(-5,3)#

Agora, para classificar:

O determinante de #f (x, y) # É dado por #D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 #

# (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6a + 12) = 6 #

# (del ^ 2g) / (dely ^ 2) = del / (dely) ((del) / (dely)) = del / (dely) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (del ^ 2g) / (deli) = del / (delx) ((delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6a ^ 2-24) = 6 #

# (del ^ 2g) / (delyx) = del / (dely) ((del) / (delx)) = del / (dely) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

# D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Desde a # D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# é um ponto de sela.

E desde #D (-5,3)> 0 e (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# é um mínimo local. (# (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = 6 # então não precisamos fazer nenhum cálculo).