Por que os polinômios de fatoração agrupam o trabalho?

Funciona para alguns polinômios, mas não para outros. Principalmente, funciona para este polinômio porque o professor, ou autor, ou testador, escolheu um polinômio que poderia ser considerado assim.

Exemplo 1

Fator: # 3x ^ 3 + 6x ^ 3-5x-10 #

Eu agrupo os dois primeiros termos e retiro qualquer fator comum desses dois termos:

# (3x ^ 3 + 6x ^ 2) -5x-10 = 3x ^ 2 (x + 2) -5x-10 #

Agora vou eliminar quaisquer fatores comuns nos outros dois termos. Se eu tiver um tempo monomial # (x + 2) # em seguida, factoring por agrupamento funcionará. Se eu conseguir outra coisa, não vai funcionar.

Ther fator comum de # (- 5x-10) # é #-5#. Tirando esse fator deixa # -5 (x + 2) # por isso sabemos que o factoring por agrupamento funcionará.

# 3x ^ 3 + 6x ^ 2-5x-10 = (3x ^ 3 + 6x ^ 2) + (- 5x-10) #

# = 3x ^ 2 (x + 2) -5 (x + 2) #.

Agora temos dois termos com um fator comum # C # Onde # C = (x-2) #. Então nós temos # 3x ^ 2C-5C = (3x-5) C #

Isso é: nós temos # (3x ^ 2-5) (x + 2) #

Nós pararemos lá se estivermos apenas dispostos a usar coeficientes inteiros (ou racionais).

Exemplo 2

Fator: # 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 #

# 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 = (4x ^ 3-10x ^ 2) + 6x + 15 #

# = 2x ^ 2 (2x-5) + 6x + 15 #

Agora, se tirarmos um fator comum de # 6x + 15 # e obter um tempo monomial # (2x-5) #, então podemos terminar o factoring por agrupamento. Se conseguirmos outra coisa, então o factoring por agrupamento não funcionará.

Neste caso, recebemos # 6x + 15 = 3 (2x + 5) #. Quase !, mas fechar não funciona no factoring por agrupamento. Então não podemos terminar isso agrupando.

Exemplo 3 Você faz o trabalho do testador.

Eu quero um problema que pode ser fatorado pelo agrupamento.

Eu começo com # 12x ^ 3-28x ^ 2 # Então, se PODE ser fatorado pelo agrupamento, o resto é para se parecer com o quê?

Tem que ser um tempo monomial # (3x-7) #.

Então terminando com # 6x-14 # funcionaria, ou # 15x-35 #ou eu poderia ser complicado e usar # -9x + 21 #. Na verdade, qualquer número de vezes # (3x-7) # adicionado ao que eu já tenho me dará um polinômio que pode ser fatorado pelo agrupamento.

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + k3x-k7 # para qualquer #k # pode ser fatorado como:

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + 3kx-7k = 4x ^ 2 (3x-7) + k (3x-7) = (4x ^ 2 + k) (3x-7) #

Nota final: # k = -1 # ou # k = -9 # faria boas escolhas. Porque então o primeiro fator é uma diferença de 2 quadrados e pode ser fatorado.

Suponha que o tempo que leva para fazer um trabalho seja inversamente proporcional ao número de trabalhadores. Ou seja, quanto mais trabalhadores estiverem no trabalho, menos tempo será necessário para concluir o trabalho. São necessários 2 trabalhadores 8 dias para terminar um trabalho, quanto tempo levará 8 trabalhadores?

8 trabalhadores terminarão o trabalho em 2 dias. Deixe o número de trabalhadores ser w e dias reqired para terminar um trabalho é d. Então w prop 1 / d ou w = k * 1 / d ou w * d = k; w = 2, d = 8:. k = 2 * 8 = 16: .w * d = 16. [k é constante]. Portanto, a equação para o trabalho é w * d = 16; w = 8, d =? : d = 16 / p = 16/8 = 2 dias. 8 trabalhadores terminarão o trabalho em 2 dias. [Ans]

Quando o polinômio tem quatro termos e você não pode fatorar algo de todos os termos, reorganize o polinômio de modo que possa fatorar dois termos de cada vez. Em seguida, escreva os dois binômios com os quais você acaba. (4ab + 8b) - (3a + 6)?

(a + 2) (4b-3) "o primeiro passo é remover os colchetes" rArr (4ab + 8b) cor (vermelho) (- 1) (3a + 6) = 4ab + 8b-3a-6 "agora fatorizar os termos "agrupando-os" cor (vermelho) (4b) (a + 2) cor (vermelho) (- 3) (a + 2) "tirar" (a + 2) "como um fator comum de cada grupo "= (a + 2) (cor (vermelho) (4b-3)) rArr (4ab + 8b) - (3a + 6) = (a + 2) (4b-3) cor (azul)" Como verificação " (a + 2) (4b-3) larr "expandir usando FOIL" = 4ab-3a + 8b-6larr "comparar com expansão acima"

Quando o polinômio tem quatro termos e você não pode fatorar algo de todos os termos, reorganize o polinômio de modo que possa fatorar dois termos de cada vez. Em seguida, escreva os dois binômios que você acaba. (6y ^ 2-4y) + (3y-2)?

(3y-2) (2y + 1) Vamos começar com a expressão: (6y ^ 2-4y) + (3y-2) Note que eu posso fatorar 2y do termo esquerdo e isso deixará um 3y-2 dentro do bracket: 2y (3y-2) + (3y-2) Lembre-se que eu posso multiplicar qualquer coisa por 1 e obter a mesma coisa. E então eu posso dizer que há um 1 na frente do termo certo: 2y (3y-2) +1 (3y-2) O que eu posso fazer agora é fatorar 3y-2 dos termos direito e esquerdo: (3y -2) (2y + 1) E agora a expressão é fatorada!