Se 3x ^ 2-4x + 1 tem zeros alfa e beta, então o quadrático tem zeros alfa ^ 2 / beta e beta ^ 2 / alfa?

Responda:

Encontrar #alfa# e #beta# primeiro.

Explicação:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Os fatores do lado esquerdo, de modo que temos

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Sem perda de generalidade, as raízes são #alpha = 1 # e #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # e #(1/3)^2/1= 1/9#.

Um polinômio com coeficientes racionais tendo estas raízes é

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Se desejarmos coeficientes inteiros, multiplique por 9 para obter:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Podemos multiplicar isso se quisermos:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTA: Mais geralmente, podemos escrever

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa)) x + alfa #

Responda:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Explicação:

Observe que:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

#color (branco) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

#color (branco) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) x + alfa beta #

Em nosso exemplo, dividindo # 3x ^ 2-4x + 1 # por #3# temos:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Assim:

# ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Então o polinômio desejado pode ser escrito:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multiplique-se por #9# para obter coeficientes inteiros:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Responda:

Proposta de solução abaixo;

Explicação:

# 3x²-4x + 1 #

Nota: #uma# é alfa # b # é beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Para formar uma equação, encontramos a soma e os produtos das raízes.

Para a soma

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Mas; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Assim sendo;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Por isso, substituímos os valores.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Portanto, a soma é #28/9#

Para produtos

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Portanto, o produto é #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Multiplicando por #9#

Espero que isto ajude!