Qual é a multiplicidade da raiz real de uma equação que cruza / toca o eixo x uma vez?

Responda:

Algumas observações …

Explicação:

Observe que #f (x) = x ^ 3 # tem as propriedades:

• #f (x) # é de grau #3#

• O único valor real de # x # para qual #f (x) = 0 # é # x = 0 #

Essas duas propriedades sozinhas não são suficientes para determinar que o zero em # x = 0 # é de multiplicidade #3#.

Por exemplo, considere:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Observe que:

• #g (x) # é de grau #3#

• O único valor real de # x # para qual #g (x) = 0 # é # x = 0 #

Mas a multiplicidade do zero de #g (x) # a # x = 0 # é #1#.

Algumas coisas podemos dizer:

• Um polinômio de grau #n> 0 # tem exatamente # n # zeros complexos (possivelmente reais) contando multiplicidade. Esta é uma conseqüência do Teorema Fundamental da Álgebra.

• #f (x) = 0 # apenas quando # x = 0 #, ainda é de grau #3#, então tem #3# multiplicidade de contagem de zeros.

• Portanto, esse zero em # x = 0 # deve ser de multiplicidade #3#.

Por que o mesmo não é verdade de #g (x) #?

É de grau #3#, então tem três zeros, mas dois deles são zeros complexos não reais, nome # + - i #.

Outra maneira de ver isso é observar que # x = a # é um zero de #f (x) # se e apenas se # (x-a) # é um fator.

Nós achamos:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Isso é: # x = 0 # é um zero #3# tempo acabou.