Um triângulo tem vértices A (a, b), C (c, d) e O (0, 0). Qual é a equação e a área do círculo circunscrito do triângulo?

Responda:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # Onde

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Explicação:

Generalizei a questão; vamos ver como isso vai Eu deixei um vértice na origem, o que o torna um pouco menos confuso, e um triângulo arbitrário é facilmente traduzido.

O triângulo é obviamente totalmente inessencial para este problema. O círculo circunscrito é o círculo através dos três pontos, que são os três vértices. O triângulo faz uma aparição surpresa na solução.

Alguma terminologia: o círculo circunscrito é chamado de triângulo circunferência e seu centro do triângulo circumcenter.

A equação geral de um círculo com centro # (p, q) # e raio ao quadrado # s # é

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

e a área do círculo é #A = pi s. #

Nós temos três incógnitas # p, q, s # e nós sabemos três pontos, então temos três equações:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # porque a origem está no círculo.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Vamos resolver as equações simultâneas. Vamos transformá-los em duas equações lineares expandindo e subtraindo pares, o que equivale a perder # p ^ 2 + q ^ 2 # à esquerda e # s # a direita.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Subtraindo, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Similarmente, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

São duas equações em dois desconhecidos. # AX = K # tem solução # X = A ^ {- 1} K. # Eu me lembro do inverso da matriz dois por dois que eu não sei como formatar, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (empilhamento {d, -b} {-c, a}) #

Para nós isso significa

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

e um raio quadrado de

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

então uma área de # pi # vezes essa quantia.

Podemos ver a expressão se tornar mais simétrica se considerarmos o que acontece para o triângulo arbitrário # (A, B), (C, D), (E, F). # Montamos # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # mas não vou resolver isso agora.

Vou anotar o numerador de # s # é o produto dos três comprimentos ao quadrado dos lados do triângulo, e o denominador de # s # é dezesseis vezes a área quadrada do triângulo.

Em Trigonometria Racional, os comprimentos quadrados são chamados quadrantes e dezesseis vezes a área ao quadrado é chamado de quadrea. Encontramos que a quadra do raio da circunferência é o produto dos quadriláteros do triângulo dividido por sua quadrea.

Se precisarmos apenas do raio ou área da circunferência, podemos resumir o resultado aqui como:

O raio quadrado da circunferência é o produto dos comprimentos quadrados do triângulo dividido por dezesseis vezes a área quadrada do triângulo.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #