Qual é o comportamento final da função f (x) = ln x?

Qual é o comportamento final da função f (x) = ln x?
Anonim

#f (x) = ln (x) -> infty # Como #x -> infty # (#ln (x) # cresce sem limite como # x # cresce sem limite) e #f (x) = ln (x) -> - infty # Como #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # cresce sem limite na direção negativa # x # se aproxima de zero da direita).

Para provar o primeiro fato, você essencialmente precisa mostrar que a função crescente #f (x) = ln (x) # não tem assíntota horizontal como #x -> infty #.

Deixei #M> 0 # seja qualquer número positivo dado (não importa quão grande). E se #x> e ^ {M} #, então #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (Desde a #f (x) = ln (x) # é uma função crescente). Isso prova que qualquer linha horizontal # y = M # não pode ser uma assíntota horizontal de #f (x) = ln (x) # Como #x -> infty #. O fato de que #f (x) = ln (x) # é uma função crescente agora implica que #f (x) = ln (x) -> infty # Como # x-> infty #.

Para provar o segundo fato, vamos #M> 0 # ser qualquer dado número positivo para que # -M <0 # é qualquer número negativo dado (não importa quão longe de zero). E se # 0 <x <e ^ {- M} #, então #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- m}) = - m # (Desde a #f (x) = ln (x) # está aumentando). Isso prova que #f (x) = ln (x) # fica abaixo de qualquer linha horizontal se # 0 <x # está suficientemente próximo de zero. Que significa #f (x) = ln (x) -> - infty # Como #x -> 0 ^ {+} #.