Como você encontra a equação de uma linha tangente à função y = (x-1) (x ^ 2-2x-1) em x = 2?

Responda:

# y = x-3 # é a equação da sua linha tangente

Explicação:

Você tem que saber isso #color (vermelho) (y '= m) # (a inclinação) e também a equação de uma linha é #color (azul) (y = mx + b) #

# y = (x-1) (x ^ 2-2x-1) = x ^ 3-2x ^ 2-x-x ^ 2 + 2x + 1 #

# => y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 #

# y '= 3x ^ 2-6x + 1 #

# y '= m => m = 3x ^ 2-6x + 1 # e em # x = 2 #, # m = 3 (2) ^ 2-6 (2) + 1 = 12-12 + 1 = 1 #

# y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 # e em # x = 2 #, # y = (2) ^ 3-3 (2) ^ 2 + 2 + 1 = 8-12 + 3 = -1 #

Agora temos # y = -1 #, # m = 1 # e # x = 2 #, tudo o que temos que encontrar para escrever a equação da linha é # b #

# y = mx + b => - 1 = 1 (2) + b => b = -3 #

Então, a linha é # y = x-3 #

Note que você também pode ter encontrado esta equação usando #color (verde) (y-y_0 = m (x-x_0)) # com seu ponto #(2,-1)# Desde a # x_0 = 2 # e # y_0 = -1 #

# y-y_0 = m (x-x_0) => y - (- 1) = 1 (x-2) #

# => y + 1 = x-2 #

# => y = x-3 #

Espero que isto ajude:)