Sem o uso da função solve de uma calculadora, como resolvo a equação: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Responda:

Os zeros são # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Explicação:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Nos dizem que # (x-5) # é um fator, então separe-o:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Nos dizem que # (x + 2) # também é um fator, então separe isso:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

O discriminante do fator quadrático remanescente é negativo, mas ainda podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes complexas:

# x ^ 2-2x + 3 # está na forma # ax ^ 2 + bx + c # com # a = 1 #, # b = -2 # e # c = 3 #.

As raízes são dadas pela fórmula quadrática:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Vamos tentar sem saber que # (x-5) # e # (x + 2) # são fatores.

O termo constante é igual ao produto das raízes, então

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Este coeficiente é um valor inteiro cujos fatores são #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Tentando esses valores, podemos ver que

#p (-2) = p (5) = 0 # obtendo duas raízes.

Podemos representar o polinômio como

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Calculando o lado direito e comparando ambos os lados obtemos

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Resolvendo para # (a, b) # Nós temos # a = -2, b = 3 #

Avaliando as raízes de # x ^ 2-2x + 3 = 0 # Nós temos # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #