Qual é a forma radical mais simples do sqrt115?

Responda:

Não existe uma forma mais simples

Explicação:

Com os radicais, você tenta fatorar o argumento e ver se há algum quadrado que possa ser 'tirado de debaixo da raiz'.

Exemplo: # sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

Neste caso, não tem essa sorte:

# sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Responda:

#sqrt (115) # já está na forma mais simples.

Explicação:

A principal fatoração de #115# é:

#115 = 5*23#

Como não há fatores quadrados, não é possível simplificar a raiz quadrada. É possível expressá-lo como um produto, mas isso não conta como mais simples:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#cor branca)()#

Bônus

Em comum com qualquer raiz quadrada irracional de um número racional, #sqrt (115) # tem uma expansão repetida da fração continuada:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Você pode truncar a expansão da fração continuada cedo para dar aproximações racionais para #sqrt (115) #.

Por exemplo:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

De fato, truncando logo antes do final da seção de repetição da fração continuada, encontramos a mais simples aproximação racional para #sqrt (115) # que satisfaz a equação de Pell.

Isso é:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

diferem apenas por #1#.

Isto faz # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # uma aproximação eficiente para #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #