Como você escreve um polinômio com função de grau mínimo em forma padrão com coeficientes reais cujos zeros incluem -3,4 e 2-i?

Responda:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X2 + i) (X-2-i) # com #aq em RR #.

Explicação:

Deixei # P # seja o polinômio de que você está falando. eu assumo #P! = 0 # ou seria trivial.

P tem coeficientes reais, então #P (alfa) = 0 => P (baralfa) = 0 #. Isso significa que há outra raiz para P, #bar (2-i) = 2 + i #, portanto, esta forma para # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X-2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # com #a_j em NN #, #Q em RR X # e #a em RR # porque nós queremos # P # ter coeficientes reais.

Nós queremos o grau de # P # ser o menor possível. E se #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X-2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # então #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = soma (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # assim #deg (Q)> = 0 #. Se nós quisermos # P # para ter o menor grau possível, então #deg (Q) = 0 # (# Q # é apenas um número real # q #), conseqüentemente #deg (P) = deg (R) # e aqui podemos até dizer que #P = R #. #deg (P) # será tão pequena quanto possível se cada #a_j = 0 #. assim #deg (P) = 4 #.

Então por agora, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X2 + i) (X-2-i) q #. Vamos desenvolver isso.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) em RR X #. Então essa expressão é a melhor # P # podemos encontrar com essas condições!