Qual é o alcance da função f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Responda:

O alcance é #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Explicação:

Note que o denominador é indefinido sempre

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, isto é, sempre que

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

ou

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, Onde #n em ZZ # (# n # é um inteiro).

Como # x # aproximações #x_ (1, n) # de baixo, #f (x) # aproximações # - infty #, enquanto se # x # aproximações #x_ (1, n) # de cima então #f (x) # aproximações # + infty #. Isso se deve à divisão por "quase #-0# ou #+0#'.

Para #x_ (2, n) # a situação é invertida. Como # x # aproximações #x_ (2, n) # de baixo, #f (x) # aproximações # + infty #, enquanto se # x # aproximações #x_ (2, n) # de cima então #f (x) # aproximações # -infty #.

Nós temos uma sequência de intervalos em que #f (x) # é contínuo, como pode ser visto na trama. Considere primeiro as "tigelas" (em cujas extremidades a função explode # + infty #). Se podemos encontrar os mínimos locais nesses intervalos, então sabemos que #f (x) # assume todos os valores entre este valor e # + infty #. Podemos fazer o mesmo para "tigelas de cabeça para baixo" ou "bonés".

Notamos que o menor valor positivo é obtido sempre que o denominador em #f (x) # é o maior possível, ou seja, quando #sin (x) = 1 #. Assim, concluímos que o menor valor positivo de #f (x) # é #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

O maior valor negativo é similarmente encontrado #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Devido à continuidade de #f (x) # nos intervalos entre as descontinuidades, e o teorema do valor Intermediário, podemos concluir que a faixa de #f (x) # é

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Os colchetes duros significam que o número está incluído no intervalo (por ex. #-1/2#), enquanto colchetes suaves significam que o número não está incluído.

gráfico {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}