Quando você usa a fórmula de Heron para encontrar área?

Você pode usá-lo sempre que souber o comprimento de todos os três lados de um triângulo.

Espero que isso tenha sido útil.

Responda:

A fórmula de Heron é quase sempre a fórmula errada para usar; tente o Teorema de Arquimedes para um triângulo com área #UMA# e os lados #abc#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # Onde # s = 1/2 (a + b + c) #

Esta última é uma garça velada.

Explicação:

Herói de Alexandria escreveu no primeiro século dC. Por que continuamos a torturar os alunos com o seu resultado quando há equivalentes modernos muito melhores que eu não tenho ideia.

Fórmula de garça para a área #UMA# de um triângulo com lados #abc# é

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Onde # s = 1/2 (a + b + c) # é o semiperímetro.

Não há dúvidas de que essa fórmula é incrível. Mas é estranho usar por causa da fração e, se começarmos a partir de coordenadas, as quatro raízes quadradas.

Vamos apenas fazer as contas. Nós esquadramos e eliminamos # s # que serve principalmente para esconder um #16# e uma importante fatoração. Você pode querer experimentar você mesmo primeiro.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Isso já é muito melhor que a forma de Heron. Nós salvamos a fração até o fim e não há mais nenhuma dúvida sobre o significado do semiperímetro.

O caso degenerado é revelador. Quando um desses fatores com um sinal de menos é zero, é quando dois lados somam exatamente o outro lado. Essas são distâncias entre três pontos colineares, o triângulo degenerado, e nós temos área zero. Faz sentido.

o # a + b + c # fator é interessante. O que nos diz é que esta fórmula ainda funciona se usarmos deslocamentos, comprimentos assinados, ao invés de todos positivos.

A fórmula ainda é inadequada para usar as coordenadas dadas. Vamos multiplicar isso; você pode querer tentar você mesmo;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Essa forma depende apenas dos quadrados dos comprimentos. É claramente totalmente simétrico. Podemos ir além de Heron agora e dizer se o comprimentos esquadrados são racionais, então é a área quadrada.

Mas podemos fazer melhor se notarmos

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Subtraindo,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Essa é a forma mais bonita.

Há uma forma de aparência assimétrica que geralmente é a mais útil. Nós notamos

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Adicionando isso a

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Essa é a forma mais útil. Existem realmente três maneiras de escrevê-lo, trocando de lado.

Coletivamente, eles são chamados de Teorema de Arquimedes, do Trigonometria Racional de NJ Wildberger.

Quando são dadas coordenadas 2D, muitas vezes a fórmula de cadarço é o caminho mais rápido para a área, mas eu salvarei isso para outras postagens.