Responda:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Explicação:
Para este problema fazer sentido # 4-9x ^ 2> = 0 #, assim # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Portanto, podemos escolher um # 0 <= u <= pi # de tal modo que # x = 2 / 3cosu #. Usando isso, podemos substituir a variável x na integral usando # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # aqui nós usamos isso # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # e isso para # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Agora usamos a integração por partes para encontrar # int = ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Assim sendo # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Então nós encontramos #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #agora substituímos # x # de volta para #você#usando # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, assim #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Podemos ainda simplificar isso usando a definição de senos e cossenos em termos de triângulos. Para um triângulo retângulo com um ângulo #você# em uma das esquinas não direitas, # sinu = "lado oposto" / "lado mais longo" #, enquanto # cosu = "lado adjacente" / "lado mais longo" #, já que sabemos # cosu = (3x) / 2 #podemos escolher o lado adjacente a ser # 3x # e o lado mais longo a ser #2#. Usando o teorema de Pitágoras, encontramos o lado oposto a ser #sqrt (4-9x ^ 2) #, assim #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Assim sendo #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
