Responda:
Solução: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
Explicação:
# 10 cos x + 13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # ou
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # ou
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # ou
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # ou
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # Ou
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 ou (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # ou
# cos (x / 2)! = 5/4 # desde a gama de #cos x # é #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # ou
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
Além disso #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~~ 106,26 ^ 0 #
e # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Solução: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans
Responda:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # inteiro #k #
Explicação:
Vamos começar substituindo # y = x / 2 # para se livrar dos ângulos fracionários.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
A forma preferida da fórmula de duplo ângulo cosseno é
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
Substituindo, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Isso é uma dor para fatorar, mas um pouco de pesquisa surge com
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 ou cos y = -5 / 4 #
Podemos ignorar o cosseno fora de alcance.
#cos y = 3/5 #
Podemos usar a fórmula de duplo ângulo:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Isso é um triplo pitagórico #7^2+24^2=25^2# então podemos tentar escrever isso como # arctan (pm 24/7) # mas isso é mais raízes estranhas.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # inteiro #k #
Verifica:
Vamos checar um casal com uma calculadora.
# x = texto {Arco} texto {cos} (- 7/25) aproximadamente 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 vezes 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Vamos adicionar 360 e verificar novamente:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # NÃO FUNCIONA.
Por causa do meio ângulo, a resposta correta parece ser
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # inteiro #k #
