Nós temos:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Passo 2 - Identificar Pontos Críticos
Um ponto crítico ocorre em uma solução simultânea de
# f_x = f_y = 0 iff (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 #
ou seja, quando:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # simultaneamente
Da qual podemos estabelecer:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Assim, exigimos que:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Então nós temos duas soluções (plano infinito):
#:. x = + - y #
E assim concluímos que existem infinitos pontos críticos ao longo de toda a extensão da interseção da curva e os dois planos
Passo 3 - Classifique os pontos críticos
Para classificar os pontos críticos, realizamos um teste semelhante ao de um cálculo variável usando as segundas derivadas parciais e a Matriz Hessiana.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (aa)) | = | ((parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y)), ((parcial ^ 2 f) / (parcial y parcial x), (parcial ^ 2 f) / (parcial y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (aa) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Então dependendo do valor de
# {: (Delta> 0, "Há um máximo se" f_ (xx) <0), (, "e um mínimo se" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "há um ponto de sela"), (Delta = 0, "Mais análise é necessária"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xéio ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Precisamos considerar o sinal de
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Então, dependendo do sinal
Aqui está um gráfico da função
E aqui está um gráfico da função incluindo os planos
