Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Responda:

Ponto de sela na origem.

Explicação:

Nós temos:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

E assim derivamos as derivadas parciais. Lembre-se de quando diferenciamos parcialmente que diferenciamos a variável em questão enquanto tratamos as outras variáveis como constantes. E entao:

# (parcial f) / (parcial x) = 2xy-y ^ 2 # e # (parcial f) / (parcial y) = x ^ 2-2yx #

Em um extremo ou pontos de sela, temos:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 # e # (parcial f) / (parcial y) = 0 # simultaneamente:

ou seja, uma solução simultânea de:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Portanto, há apenas um ponto crítico na origem #(0,0)#. Para estabelecer a natureza do ponto crítico, os analistas da série de múltiplas variáveis de Taylor são exigidos e os seguintes resultados de teste:

# Delta = (parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2 f) / (parcial y ^ 2) - {(parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y)} ^ 2 <0 => # ponto de sela

Então, calculamos as segundas derivadas parciais:

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 2y #;# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = -2x # e # (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y) = 2x-2y #

E então quando # x = 0, y = 0 # Nós temos:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

O que significa que o teste de sela padrão é inclusivo e uma análise adicional é necessária. (Isto tipicamente envolveria olhar os sinais da função através de várias fatias, ou olhar para o terceiro teste derivativo parcial que está além do escopo desta questão!).

Podemos também olhar para o gráfico 3D e tirar uma conclusão rápida de que o ponto crítico parece corresponder a um ponto de sela: