Qual é o método de expansão do cofator para encontrar o determinante?

Olá !

Deixei #A = (a_ {i, j}) # ser uma matriz de tamanho #n times n #.

Escolha uma coluna: o número da coluna # j_0 # (Vou escrever: "o # j_0 #-th coluna ").

o fórmula de expansão de cofator (ou fórmula de Laplace) para o # j_0 #-th coluna é

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

Onde # Delta_ {i, j_0} # é o determinante da matriz #UMA# sem o seu #Eu#-th line e sua # j_0 #-th coluna; assim, # Delta_ {i, j_0} # é um determinante do tamanho # (n-1) times (n-1) #.

Note que o número # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # é chamado cofator do lugar # (i, j_0) #.

Talvez pareça complicado, mas é fácil de entender com um exemplo. Nós queremos calcular # D #:

Se nos desenvolvermos na segunda coluna, você

assim:

Finalmente, # D = 0 #.

Para ser eficiente, você tem que escolher uma linha que tenha muitos zeros: a soma será muito simples de calcular!

Observação. Porque # det (A) = det (A ^ text {T}) #, você também pode escolher uma linha e não uma coluna. Então, a fórmula se torna

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

Onde # i_0 # é o número da linha selecionada.