Qual é a equação para uma parábola com vértice: (8,6) e foco: (3,6)?

Para a parábola é dado

#V -> "Vértice" = (8,6) #

#F -> "Foco" = (3,6) #

Nós devemos descobrir a equação da parábola

As ordenadas de V (8,6) e F (3,6) sendo 6 o eixo da parábola serão paralelas ao eixo x e sua equação é # y = 6 #

Agora deixe a coordenada do ponto (M) da intersecção da diretriz e do eixo da parábola ser # (x_1,6) #. Então V será o ponto médio de MF pela propriedade de parábola. assim

# (x_1 + 3) / 2 = 8 => x_1 = 13 #

# "Daqui" M -> (13,6) #

A diretriz perpendicular ao eixo (# y = 6 #) terá equação # x = 13 ou x-13 = 0 #

Agora se# P (h, k) # seja qualquer ponto na parábola e N é o pé da perpendicular traçada de P até a diretriz, então pela propriedade de parábola

# FP = PN #

# => sqrt ((h-3) ^ 2 + (k-6) ^ 2) = h-13 #

# => (h-3) ^ 2 + (k-6) ^ 2 = (h-13) ^ 2 #

# => (k-6) ^ 2 = (h-13) ^ 2- (h-3) ^ 2 #

# => (k ^ 2-12k + 36 = (h-13 + h-3) (h-13-h + 3) #

# => k ^ 2-12k + 36 = (2h-16) (- 10) #

# => k ^ 2-12k + 36 + 20h-160 = 0 #

# => k ^ 2-12k + 20h-124 = 0 #

Substituindo h por x e k por y obtemos a equação requerida da parábola como

#color (vermelho) (y ^ 2-12y + 20x-124 = 0) #