Qual é o método mais rápido e fácil para resolver equações cúbicas e quárticas (sem uma calculadora polinomial)?

Responda:

Depende…

Explicação:

Se o cúbico ou quártico (ou qualquer polinômio de qualquer grau) tem raízes racionais, então o teorema das raízes racionais pode ser a maneira mais rápida de encontrá-las.

A Regra de Sinais de Descartes também pode ajudar a identificar se uma equação polinomial tem raízes positivas ou negativas, portanto, ajude a restringir a busca.

Para uma equação cúbica, pode ser útil avaliar o discriminante:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• E se #Delta = 0 # então o cúbico tem uma raiz repetida.

• E se #Delta <0 # então o cúbico tem uma raiz real e duas raízes complexas não reais.

• E se #Delta> 0 # então o cúbico tem três raízes reais.

E se #Delta = 0 # então o cúbico compartilha um fator com sua derivada, então você deve ser capaz de encontrar seu fator comum calculando o GCF polinomial.

Caso contrário, provavelmente é útil usar uma transformação Tschirnhaus para derivar deprimido cúbico sem termo ao quadrado antes de prosseguir.

Se um cúbico tem uma raiz real e duas não reais, então eu recomendaria o método de Cardano.

Se tiver três raízes reais, recomendo usar uma substituição trigonométrica.

Para quartics, você pode obter um quartic deprimido sem termo cubo por uma substituição como #t = x + b / (4a) #.

Se o quártico resultante também não tem um termo linear, então é um quadrático # x ^ 2 #. Você pode resolver isso como um quadrado e ter raízes quadradas, ou usar uma fatoração do formulário:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

A partir disso, você pode encontrar fatores quadráticos para resolver.

Se o quártico resultante tiver um termo linear, ele poderá ser fatorado na forma:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Coeficientes equivalentes e usando # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, você pode derivar um cúbico em # a ^ 2 #. Portanto, você pode encontrar valores possíveis para #uma#, # b # e # c #. Em seguida, encontre os zeros dos fatores quadráticos.

Existem outros casos especiais, mas que cobrem aproximadamente isso.