Um inteiro positivo é 3 menos que o dobro de outro. A soma dos seus quadrados é 117. Quais são os inteiros?

Responda:

#9# e #6#

Explicação:

Os quadrados dos primeiros inteiros positivos são:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Os dois únicos cuja soma é #117# está #36# e #81#.

Eles se encaixam nas condições desde:

#color (azul) (6) * 2-3 = cor (azul) (9) #

#color (azul) (6) ^ 2 + cor (azul) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Então os dois inteiros são #9# e #6#

Como poderíamos tê-los encontrado mais formalmente?

Suponha que os inteiros são # m # e # n #com:

#m = 2n-3 #

Então:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Assim:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (branco) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (branco) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (branco) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (branco) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (branco) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (branco) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Conseqüentemente:

#n = 6 "" # ou # "" n = -18 / 5 #

Estamos interessados apenas em soluções inteiras positivas, portanto:

#n = 6 #

Então:

#m = 2n-3 = 2 (cor (azul) (6)) - 3 = 9 #

Conhecendo a fórmula para a soma dos N inteiros a) qual é a soma dos primeiros N inteiros quadrados consecutivos, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Soma dos primeiros N inteiros do cubo consecutivos Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Para S_k (n) = soma_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Temos sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 resolvendo para sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni mas sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 então sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^

Um inteiro positivo é 5 menos que o dobro do outro. A soma dos seus quadrados é 610. Como você encontra os inteiros?

X = 21, y = 13 x ^ 2 + y ^ 2 = 610 x = 2y-5 Substitua x = 2y-5 em x ^ 2 + y ^ 2 = 610 (2y-5) ^ 2 + y ^ 2 = 610 4y ^ 2-20y + 25 + y ^ 2 = 610 5y ^ 2-20y-585 = 0 Divida por 5 y ^ 2-4y-117 = 0 (y + 9) (y-13) = 0 y = -9 ou y = 13 Se y = -9, x = 2xx-9-5 = -23 se y = 13, x = 2xx13-5 = 21 Tem de ser os inteiros positivos

Um inteiro positivo é 6 menor que o dobro do outro. A soma dos seus quadrados é 164. Como você encontra os inteiros?

Os números são 8 e 10 Deixe um dos inteiros ser x O outro inteiro é então 2x-6 A soma dos seus quadrados é 164: Escreva uma equação: x ^ 2 + (2x-6) ^ 2 = 164 x ^ 2 + 4x ^ 2 -24x + 36 = 164 "" larr make = 0 5x ^ 2 -24x -128 = 0 "" larr fatores de localização (5x + 16) (x-8 = 0 Defina cada fator igual a 0 5x + 16 = 0 "" rarr x = -16/5 "" rejeitar como uma solução x-8 = 0 "" rarr x = 8 Verificar: Os números são 8 e 10 8 ^ 2 +102 = 64 +100 = 164 #