Como você encontra a fórmula de MacLaurin para f (x) = sinhx e usa-a para aproximar f (1/2) dentro de 0.01?

Responda:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Explicação:

Nós sabemos a definição para #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Desde que conhecemos a série Maclaurin para # e ^ x #, podemos usá-lo para construir um para #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Podemos encontrar a série para # e ^ -x # substituindo # x # com #x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Podemos subtrair estes dois uns dos outros para encontrar o numerador do # sinh # definição:

#color (branco) (- e ^ -x.) e ^ x = cor (branco) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (branco) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = cor (branco) (lllllllll) 2xcolor (branco) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) cor (branco) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Podemos ver que todos os termos pares são cancelados e todos os termos ímpares duplicam. Podemos representar esse padrão da seguinte forma:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Para completar o #sinh (x) # série, só precisamos dividir isso por #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Agora queremos calcular #f (1 / 2) # com uma precisão de pelo menos #0.01#. Sabemos que esta forma geral do erro de Lagrange está vinculada a um polinômio de grau n-taylor sobre # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # Onde # M # é um limite superior na enésima derivada no intervalo de # c # para # x #.

No nosso caso, a expansão é uma série Maclaurin, então # c = 0 # e # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Os derivados de ordem superior de #sinh (x) # será ou #sinh (x) # ou #cosh (x) #. Se considerarmos as definições para eles, vemos que #cosh (x) # será sempre maior que #sinh (x) #, então devemos trabalhar o # M #para #cosh (x) #

A função cosseno hiperbólica está sempre aumentando, então o maior valor no intervalo será #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Agora, ligamos isso no erro de erro de Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Nós queremos # | R_n (x) | # ser menor que #0.01#, então nós tentamos # n # valores até chegarmos a esse ponto (quanto menor o número de termos no polinômio, melhor). Nós achamos que # n = 3 # é o primeiro valor que nos dará um limite de erro menor do que #0.01#, então precisamos usar um polinômio taylor de 3º grau.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #