Qual é a equação da linha perpendicular a y = -9 / 7x que passa por (3,7)?

Oi, aqui uma "resposta muito longa", mas não tenha medo! é só lógica, se você é capaz de fazer isso, você é capaz de governar o mundo, prometa! desenhe em um papel e tudo ficará bem (desenhe sem eixo você não precisa, é só geometria:)) o que você precisa saber: trigonometria básica, pitagore, determinante, coordenada polar e produto escalar

Vou explicar como funciona por trás da cena

Primeiro você precisa procurar dois pontos da linha

leva #x = 2 # Você tem #y = -18 / 7 #

leva #x = 1 # você tem #y = -9 / 7 #

Ok, você tem dois pontos #A = (2, -18 / 7) # e #B (1, -9 / 7) # esses pontos estão na linha

Agora você quer o vetor formado por esses pontos

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

Vamos chamar o ponto #(3,7)# # P #

Ok, agora imagine a linha que você quer que é perpendicular ao nosso, eles se cruzam em um ponto, vamos chamar esse ponto # H # nós não sabemos o que é # H # e nós queremos saber.

nós sabemos duas coisas:

#vec (AP) = vec (AH) + vec (HP) #

e # vec (HP) _ | _ vec (AB) #

adicione o determinante de ambos os lados

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (AH), vec (AB)) + detecção (vec (HP), vec (AB)) #

Agora considere isso #det (vec (a), vec (b)) = a * b * sin (theta) #

Onde #uma# e # b # são a norma e # theta # o ângulo entre os dois vetores

Obviamente #det (vec (AH), vec (AB)) = 0 # Porque #vec (AH) # e #vec (AB) # estão na mesma linha! assim #theta = 0 # e #sin (0) = 0 #

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (HP), vec (AB)) #

Agora você queria uma linha perpendicular ao nosso então

#det (vec (HP), vec (AB)) = HP * AB * sin (pi / 2) = HP * AB #

Finalmente, faça alguns cálculos

#det (vec (AP), vec (AB)) = HP * AB #

#det (vec (AP), vec (AB)) / (AB) = HP #

#vec (AP) = (3-2,7 + 18/7) = (1,67 / 7) #

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

#det (vec (AP), vec (AB)) = 76/7 #

#AB = sqrt ((- 1) ^ 2 + (9/7) ^ 2) = sqrt (130) / 7 #

#HP = (76/7) / (sqrt (130) / 7) = 76 / sqrt (130) #

Ok, agora usamos pythagore para ter # AH #

# (sqrt (4538) / 7) ^ 2 = (76 / sqrt (130)) ^ 2 + AH ^ 2 #

#AH = (277 sqrt (2/65)) / 7 #

Use trigonometria para ter o ângulo formado por #vec (AB) # e o eixo então tem o ângulo formado por #vec (AH) # e o eixo

Você encontra #cos (theta) = -7 / sqrt (130) #

Você encontra #sin (theta) = 9 / sqrt (130) #

#x = rcos (theta) #

#y = rsin (theta) #

Onde # r # é a norma assim:

#x = -277 / 65 #

#y = 2493/455 #

#vec (AH) = (-277/65, 2493/455) #

#H = (-277/65 + 2, 2493/455 - 18/7) #

#H = (-147/65, 189/65) #

Agora você tem esse ponto que você pode dizer "AAAAAAAAAAAAAH" porque você terminou em breve

Só preciso imaginar mais um ponto #M = (x, y) # que pode estar em qualquer lugar

#vec (HM) # e #vec (AB) # são perpendiculares se e somente se #vec (HM) * vec (AB) = 0 #

É só porque #vec (a) * vec (b) = a * b * cos (teta) # se eles são perpendiculares #theta = pi / 2 # e #cos (theta) = 0 #

#vec (HM) = (x + 147/65), (y-189/65) #

#vec (HM) * vec (AB) = - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) #

# - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) = 0 # é a sua linha

O ponto vermelho é # H #

O ponto preto é # P #

A linha azul é #vec (AB) #

Você pode ver as duas linhas