Como você integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando frações parciais?

Responda:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Explicação:

Nós precisamos encontrar #ABC# de tal modo que

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

para todos # x #.

Multiplique ambos os lados por # x ^ 2 (2x-1) # para obter

# 1 = Machado (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Coeficientes de equação nos dão

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

E assim nós temos # A = -2, B = -1, C = 4 #. Substituindo isso na equação inicial, obtemos

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

Agora, integre termo por termo

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

para obter

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Responda:

A resposta é # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Explicação:

Execute a decomposição em frações parciais

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

Os denominadores são os mesmos, compare os numeradores

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

Deixei # x = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

Deixei # x = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Coeficientes de # x ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

Assim sendo, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

Assim, #int (1dx) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1dx) / x ^ 2-int (2dx) / x + int (4dx) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #