Como resolver para inte ^ xcosxdx?

Responda:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sen (x) + cos (x)) + C #

Explicação:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Nós estaremos usando a integração por partes, que afirma que #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Use integração por partes, com # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #e # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Use a integração por partes novamente para a segunda integral, com # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #e # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Agora, lembre-se que definimos # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Assim, a equação acima se torna a seguinte (lembrando-se de adicionar uma constante de integração):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sen (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Usando a identidade de de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sen x # temos

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

mas #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

e finalmente

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + c #