Como você encontra o limite de (ln x) ^ (1 / x) quando x se aproxima do infinito?

Responda:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Explicação:

Começamos com um truque bastante comum quando lidamos com expoentes variáveis. Podemos pegar o logaritmo natural de algo e depois elevá-lo como o expoente da função exponencial sem alterar seu valor, pois são operações inversas - mas nos permite usar as regras dos logs de uma maneira benéfica.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Usando a regra do expoente dos logs:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Observe que é o expoente que varia conforme # xrarroo # para que possamos nos concentrar nele e mover a função exponencial para fora:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Se você observar o comportamento da função de log natural, perceberá que, como x tende ao infinito, o valor da função também tende ao infinito, embora muito lentamente. Quando nós tomamos #ln (ln (x)) # temos uma variável dentro da função de log que tende ao infinito muito lentamente, o que significa que temos uma função geral que tende ao infinito EXTREMAMENTE lenta. O gráfico abaixo varia apenas até # x = 1000 # mas demonstra o crescimento extremamente lento de #ln (ln (x)) # mesmo em comparação com o crescimento lento de #ln (x) #.

A partir desse comportamento, podemos inferir que # x # exibirá um crescimento assintótico muito mais rápido e que o limite do expoente será, portanto, zero. #color (azul) ("Isso significa que o limite geral = 1.") #

Também podemos abordar este ponto com a regra de L'hopital. Precisamos do limite para estar na forma indeterminada, ou seja, # 0/0 ou oo / oo # então nós verificamos que este é o caso:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Este é realmente o caso, então o limite se torna:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Diferenciar #y = ln (ln (x)) # reconhecer que temos #y (u (x)) # e usar a regra da cadeia

# (d) / (dx) = (d) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implica (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) implica (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#tentanto (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivado de # x # é #1#. Limite torna-se:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Nós abordamos que ambas as funções no denominador tendem ao infinito, então temos

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #