Qual é a equação da parábola que tem um vértice em (7, 9) e passa pelo ponto (0, 2)?

Responda:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Explicação:

Esse problema requer que entendamos como uma função pode ser deslocada e esticada para atender a parâmetros específicos. Neste caso, nossa função básica é #y = x ^ 2 #. Isto descreve uma parábola que tem seu vértice em #(0,0)#. No entanto, podemos expandi-lo como:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

Na situação mais básica:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Mas, alterando essas constantes, podemos controlar a forma e a posição de nossa parábola. Vamos começar com o vértice. Desde que sabemos que precisa estar em #(7,9)# precisamos mudar a parábola padrão para a direita por #7# e acima por #9#. Isso significa manipular o # b # e # c # parâmetros:

Obviamente #c = 9 # porque isso significará tudo # y # valores aumentará em #9#. Mas menos obviamente, #b = -7 #. Isso porque quando adicionamos um fator ao # x # prazo, a mudança será oposta a esse fator. Podemos ver isso aqui:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Quando nós adicionamos # b # para # x #, nós movemos o vértice para #b # no # x # direção.

Então nossa parábola até agora é:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Mas precisamos esticá-lo para passar pelo ponto #(0,2)#. Isso é tão simples quanto conectar esses valores:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Isso significa que nossa parábola terá essa equação:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #